\chapter{Potentialstr"omung}\label{ch:2}
Teil 1 des Praktikums umfasst die Praktikumsaufgabe \emph{Potentialstr"omung}. Die Aufgabe kann wie folgt zusammengefasst werden:
\begin{itemize}
\item L"osung der Potentialgleichung und Stromfunktionsgleichung f"ur eine station"are, wirbel- und reibungsfreie zweidimensionale Str"omung in einem Kanal
\item Nutzanwendung: Konstruktion eines strukturierten numerischen Gitters aus krummlinigen othogonalen Koordinaten
\end{itemize}
Die Praktikumsaufgabe besteht aus zwei Teilaufgaben:
\begin{itemize}
\item L"osung der Laplacegleichungen f"ur rechteckiges Interationsgebiet
\item L"osung der Laplacegleichungen krummlinig berandetes Integrationsgebiet
\end{itemize}

\section{Modellbildung}
Str"omungen inkompressibler newtonscher Fluide konstanter Viskosit"at werden beschrieben durch:
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		&\nabla \cdot \vec{v} = 0 \\
		&\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}-\vec{v}\times \nabla \times \vec{v}= -\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\vec{v}-\nabla U
	\end{aligned}
	\label{eq:2.1}
	\equations{Str"omungen inkompressibler newtonscher Fluide konstanter Viskosit"at}
\end{equation}
Die Gleichung kann entsprechend der Vorgaben (station"ar, wirbel- und reibungsfrei) wie folgt vereinfacht werden.
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		&\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}= -\frac{1}{\rho}\nabla p-\nabla U \\
		&\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}+\frac{1}{\rho}\nabla p+\nabla U = 0
	\end{aligned}
	\label{eq:2.2}
	\equations{Station"are, wirbel- und reibungsfreie Str"omungen inkompressibler newtonscher Fluide konstanter Viskosit"at}
\end{equation}
Die Gleichung sieht f"ur ein zweidimensionales Integrationsgebiet mit kartesischen Koordinaten wie folgt aus:
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		&\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}= -\frac{1}{\rho}\nabla p-\nabla U \\
		&\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}+\frac{1}{\rho}\nabla p+\nabla U = 0 \\
		&\frac{\vec{v}^2}{2}+\frac{p}{\rho} + U = const.
	\end{aligned}
	\label{eq:2.3}
	\equations{Station"are, wirbel- und reibungsfreie Str"omungen inkompressibler newtonscher Fluide konstanter Viskosit"at}
\end{equation}
\section{Diskretisierung}
Die Gleichung wird entsprechend f"ur zwei Dimensionen als algebraisches System wie folgt aufgestellt.
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		&\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}= -\frac{1}{\rho}\nabla p-\nabla U \\
		&\nabla\frac{\vec{v}^2}{2}+\frac{1}{\rho}\nabla p+\nabla U = 0 \\
		&\frac{\vec{v}^2}{2}+\frac{p}{\rho} + U = const.
	\end{aligned}
	\label{eq:2.4}
	\equations{Diskretisiertes System aus Gleichung \ref{eq:2.3}}
\end{equation}
\section{Codierung}

\section{Programmtest}

\section{Simulationsergebnis}

\section{Bewertung}
